快速计算文本相似度例程

所以考虑使用动态规划递推解决。

注意，并不要求子串（字符串一）的字符必须连续出现在字符串二中。

首先，子序列和子串是不一样的。子串是连续的，而子序列中的元素组成可以是不连续的，但元素的位置下标一定是递增的。以一个字串S = "abcdef"为例，字串S的一个子串是"abc",'cdef'这种连续的，而子序列可以是"abc"，也可以是"af "，给人的直观感觉就是用S中的字符拼凑成的，但f一定在a之前。

我们设有两个字符串X和Y，其中，X={x0, x1, x2, ....xi }，Y={y0, y1, y2, yj }。用lcs(i , j)表示字符串X与Y的最长公共子序列的长度。
由动态规划思想可知，问题的最优解是由子问题的最优解构成的，所以lcs(i,j) 的值与lcs(i-1, j-1), lcs(i-1, j), lcs(i, j-1) 都有一定的关系。
要确定lcs(i,j)的值，首先比较一下xi, yj 的值，有以下2种情况：

1. xi == yj，说明xi与yj 一定在最长公共子序列中，所以lcs (i , j) 是由lcs(i-1,j -1)之前的值决定的，即
lcs(i,j) = lcs(i-1, j-1) + 1；
2. xi != yj ，设在最长公共子序列中的最后一个值为zk，可能zk == xi，也可能zk == yj，也可能zk与xi, yj的值都不同。
这3种情况的分析如下：
a. zk == xi, 那么最长公共子序列取决于去掉yj的Y字符串与X字符串的最长公共子序列，
即lcs(i, j) = lcs(i, j-1)；
b. 与a同理，若yj在最长公共子序列中，那么lcs(i, j) = lcs(i - 1, j)；
c. zk与xi, yj的值都不同，那么lcs( i, j ) 的值取决于去掉xi的X字串与去掉yj的Y字串的最长公共子序列的长度，即
lcs(i, j) = lcs( i-1, j-1)。

结合a,b,c的情况，因为最长公共子序列必有最大的长度，所以
lcs(i, j) = max ( lcs( i-1, j) , lcs( i, j-1) )。这个公式之所以包含情况c，是因为在情况c下，最长公共子序列的最后一个
值zk肯定是xi与yj之前的位置上的值，xi 与yj 在这种情况下对最长公共子序列的长度没有影响力，所以在这种情况下，
lcs( i-1, j) 和 lcs( i, j-1)都等于lcs (i -1, j -1)，可归并到公式中。