有限元和边界元总结

有限元和边界元总结如果开发者对于本文件有需要的可以参考。
限单元法与有限差分法、 古典变分法虽然都是近似解法， 但近似的本质是不同
的。众所周知，微分方程式能正确反映所需分析的连续体的规律，差分法只是在数
学上将微分方程用差分方程代替，而后进行数值运算，因此差分法可看成是数学上
的近似。有限单元法则是在力学模型上作了近似（或者说是作了物理上的近似） ， 它
得到的结果是模型化了的结构的数值精确解。由于有限单元的分割和结点的配置比
较灵活，即使边界较复杂，也可使边界结点落在实际边界上，因而可给出边界的较
好的逼近，且可以在应力集中区域配置较多的结点，以提高解的精度。这都是差分
法所不能做到的。有限单元法与古典变分法也有不同。古典变分法是用整体构造的
逼近函数（含有若干个待定系数）去计算能量泛函。由能量泛函小条件导出的是求
解待定系数的变分方程。而有限单元法是用分块（单元）构造单元的逼近函数（含
有若干个结点基本未知量） ，去计算每个单元的能量泛函，而后通过集合得到整体结
构的能量泛函，由能量泛函极小条件导出的是求解结点基本未知量的代数方程。鉴
于分单元构造逼近函数远比整体构造逼近函数方便，有限单元法的实用性便大大超
过了古典变分法
【目录】
目 录
第 1 章 绪论.........................................................................................................................5
1.1 引言..............................................................................................................................................5
1.2 一个简例......................................................................................................................................6
1.3 有限单元法分析过程的描述....................................................................................................11
1.3.1 结构离散化建立计算模型.............................................................................................11
1.3.2 单元分析.........................................................................................................................11
第 2 章 平面问题的有限单元法.......................................................................................14
2.l 三角形应变单元.........................................................................................................................14
2.1.1 连续体的离散化.............................................................................................................14
2.1.2 位移模式..........................................................................................................................14
2.1.3 用结点位移表示应变.....................................................................................................16
2.1.4 用结点位移表示应力.....................................................................................................17
2.2 形函数的性质 面积坐标..........................................................................................................18
2.2.l 形函数的性质..................................................................................................................18
2.2.2 面积坐标.........................................................................................................................20
2.4 整体刚度方程的建立 整体刚度矩阵..................................................................................... 26
2.5 等效结点力 荷载列阵..............................................................................................................31
2.6 约束条件的处理........................................................................................................................34
2.7 解题步骤和注意事项................................................................................................................36
2.7.1 解题步骤.........................................................................................................................36
2.7.2 注意事项.........................................................................................................................37
2.8 解答的收敛性............................................................................................................................38
2.9 热应力计算................................................................................................................................39
2.9.1 热应力.............................................................................................................................39
2.9.2 平面应力问题.................................................................................................................40
2.9.3 平面应变问题.................................................................................................................41
2.10 矩形单元..................................................................................................................................42
2.10.1 概述...............................................................................................................................42
2.10.2 位移模式.......................................................................................................................43
2.10.3 单元应变.......................................................................................................................44
2.10.4 单元应力.......................................................................................................................45
2.10.5 单元刚度矩阵...............................................................................................................45
2.10.6 等效结点力...................................................................................................................46
2.10.8 矩形单元和三角形常应变单元比较.......................................................................... 46
第 3 章 平面问题有限元法程序设计...............................................................................49
3.1 概 述..........................................................................................................................................49
3.1.1 建立离散化模型，输入已知信息................................................................................ 49
3.1.2 形成、组集结构刚度矩阵............................................................................................ 49
3.1.3 载荷、约束信息量处理.................................................................................................49
3.1.4 求解结构整体刚度方程.................................................................................................49
3.1.5 计算应力等其它力学量..................................................................................................49
3.1.6 输出计算结果.................................................................................................................49
3.2 常应变单元的主要公式和程序设计........................................................................................ 50
3
3.2.1 常应变单元的主要公式.................................................................................................50
3.2.2 程序框图和程序设计重点............................................................................................ 51
3.2.3 程序结构.........................................................................................................................52
3.2.5 标识符说明及程序中的数据组织................................................................................ 53
3.2.6 主程序.............................................................................................................................54
3.3 原始数据输入............................................................................................................................54
3.4 形成材料弹性矩阵....................................................................................................................55
3.5 形成单元刚度矩阵....................................................................................................................55
3.6 形成结构整体刚度矩阵............................................................................................................57
3.6.1 存贮方法.........................................................................................................................57
3.6.2 关于有限元结点的合理编序........................................................................................ 58
3.6.3 等带宽存贮技术，形成组集结构整体刚度矩阵的子程序......................................... 59
3.7 形成结构整体荷载列阵............................................................................................................60
3.8 约束条件的处理........................................................................................................................60
3.9 结构整体刚度矩阵方程的求解................................................................................................61
3.9.1 高斯消元法原理.............................................................................................................62
3.9.2 对称带状稀疏方程组的高斯消元法............................................................................ 63
3.10 单元应力分析..........................................................................................................................66
第 4 章 轴对称空间问题的有限单元法...........................................................................74
4.1 概述............................................................................................................................................74
4.2 三角形截面环单元.....................................................................................................................75
4.2.1 单元的位移函数.............................................................................................................75
4.2.2 单元应变.........................................................................................................................75
4.2.3 单元应力.........................................................................................................................76
4.3 单元刚度矩阵.....................................................................................................................77
4.4 等效结点力计算........................................................................................................................79
4.4.1 体积力...........................................................................................................................79
4.4.2 表面力..............................................................................................................................80
4.5 采用四面体单元解一般空间问题........................................................................................... 82
4.5.1 单元的位移系数..............................................................................................................82
4.5.2 单元的应变与应力..........................................................................................................84
4.5.3 刚度矩阵.........................................................................................................................85
4.5.4 等效结点计算.................................................................................................................86
第 5 章 等参数单元...........................................................................................................88
5.1 等参数单元的概念....................................................................................................................88
5.2 高斯求积法.................................................................................................................................90
5.3 平面八结点等参单元................................................................................................................93
5.3.2 单元刚度矩阵.................................................................................................................96
5.4 空间二十结点等参单元............................................................................................................99
5.4.1 单元的应变矩阵和应力矩阵...................................................................................... 100
5.4.2 单元刚度矩阵...............................................................................................................103
5.4.3 单元等效结点力列阵...................................................................................................104
第 6 章 杆件系统的有限元法.........................................................................................108
6.1 概述...........................................................................................................................................108
4
6.2 局部坐标系中梁单元的刚度矩阵与等效结点力................................................................. 108
6.2.4 局部坐标系中梁单元的单元刚度矩阵的计算........................................................... 112
6.2.5 等效结点力计算............................................................................................................112
6.3 坐标变换 体坐标系中单元 刚度矩阵与等效结点力......................................................... 115
6.3.1 坐标变换方法...............................................................................................................115
6.3.2 转换矩阵 T................................................................................................................... 115
6.4 结构整体刚度矩阵与节点载荷列阵 算例........................................................................... 117
6.5 释放自由度..............................................................................................................................119
第 7 章 动力学问题的有限单元法简述.........................................................................125
7.1．动力学方程 质量矩阵及阻尼矩阵..................................................................................... 125
7.2 特征值问题...............................................................................................................................128
7.3 动力响应 逐步积分法...........................................................................................................129
7.3.1 动力响应问题................................................................................................................129
7.3.2 逐步积分法...................................................................................................................129
第 8 章 平面问题的边界元法.........................................................................................134
8.1 基本解.......................................................................................................................................134
8.1.1 ? 函数..........................................................................................................................134
8.1.2 基本解............................................................................................................................135
8.2 边界积分方程...........................................................................................................................139
8.2.l 积分方程........................................................................................................................139
8.2.2 边界积分方程...............................................................................................................141
8.3 边界积分方程的离散...............................................................................................................144
8.4.1 的计算....................................................................................................................145 Hii
8.4.3 、 （ ）的计算........................................................................................ 147 Hij Gij i ? j
8.5 域内的位移和应力..................................................................................................................151
8.5.1 域内的位移...................................................................................................................151
8.5.2 域内的应力...................................................................................................................151
8.6 边界上的应力...................................................................................................................152
8.7.1 使用说明.......................................................................................................................154
8.7.3 源程序...........................................................................................................................155